Перигелий Меркурия и периастры двойных пульсаров

Перигелий Меркурия

Для определенности запустим по орбите вокруг центрального тела, например, протон, конструктивно оформленный в виде устойчивой структуры из двух синхронных и синфазных фотонов.

Орбитальная скорость

V_{orb}=\sqrt{\frac{GM}{b^2/a}}(1+2\varepsilon cos\Theta +\varepsilon ^2)

где:

M - масса центрального гравитирующего тела,

b - малая полуось орбиты,

a - большая полуось орбиты,

\varepsilon - эксцентриситет орбиты,

\Theta - истинная аномалия - угол между радиус-вектором R тела на орбите и направлением на перицентр из центра гравитирующего тела.

b=a\sqrt{1-\varepsilon ^2}

b^2=a^2(1-\varepsilon ^2)  подставляем в (1) и получаем

V=\sqrt{\frac{GM}{a(1-\varepsilon ^2)}(1+2\varepsilon cos\Theta +\varepsilon ^2)}

фокальный радиус (справа) r=a-\varepsilon x, где x - расстояние от центра до перигелия

g=\frac{GM}{R^2} ускорение свободного падения на расстоянии R от тела массы M

R=\frac{a(1-\varepsilon ^2)}{1+\varepsilon cos\Theta } - расстояние от фокуса с центральным телом до точки положения тела на орбите.

t=\frac{\lambda _{c}}{C}} - время одной итерации

где \lambda _{c} - Комптоновская длина волны протона, нейтрона, электрона

C - скорость света.

gt^2_{B}=\frac{GM\lambda _{c}^2}{R^2C^2} - падение за одну большую итерацию в метрах

gt^2_{m}=gt^2_{B}\frac{V_{orb}^2}{C^2} - условное падение за одну малую итерацию будет умножено на "тройку"

"Тройка" - f(v) - зависит от расстояния между центрами фотонов, выраженное в единицах \lambda _{c}

f(v)=\frac{2\lambda _{c}\sqrt{1-\frac{v^2}{C^2}}+\lambda _{c}}{\lambda _{c}}=2\sqrt{1-\frac{v^2}{C^2}}+1

где v - средняя орбитальная скорость.

Сама функция плавно изменяется от 3 при v_{orb}=0 до 1 при v_{orb}=C.

gt^2_{B}=\frac{GM\lambda _{c}^2}{R^2C^2 }

gt^2_{m}=\frac{GM\lambda _{c}^2}{R^2C^2}\frac{V_{orb}^2}{C^2}

arcsin(\frac{gt^2_{m}}{V_{orb}t})\nu T радиан - угол смещения перицентра за время прохождения телом одного градуса орбиты

где \nu =\frac{C}{\lambda _{c}} - Комптоновская частота протона, нейтрона, электрона,

T=\frac{R}{V_{orb}}sin(1^{\circ}) секунд на прохождение градуса \pi /180 орбиты.

arcsin(\frac{GM\lambda _{c}^2V_{orb}^2}{R^2C^2C^2V_{orb}t})$ при $V_{orb}\ll C работаем пока без arcsin,

тогда \frac{gt^2_{B}}{Ct}=\frac{GM\lambda _{c}^2V_{orb}^2}{R^2C^2C^2V_{orb}t}=\frac{GMV_{orb}^2t^2}{R^2C^2V_{orb}t}=\frac{GMV_{orb}t}{R^2C^2}

осталось домножить на \nu T

\begin{gathered}\frac{GMV_{orb}t}{R^2C^2}\nu T=\frac{GMV_{orb}t}{R^2C^2}\frac{C}{\lambda _{c}}\frac{R}{V_{orb}}sin(1^{\circ})=\frac{GM}{RC^2}sin(1^{\circ}) \end{gathered}
подставляем R

\frac{GM(1+\varepsilon cos\Theta )}{C^2a(1-\varepsilon ^2)}sin(1^{\circ})

Осталось проинтегрировать

\frac{GM}{C^2a(1-\varepsilon ^2)}\int_{0}^{\pi }1+\varepsilon cos\Theta d\Theta=\pi \frac{GM}{C^2a(1-\varepsilon ^2)} - угол смещения за половину оборота или

\Delta \varphi =2\pi \frac{GM}{C^2a(1-\varepsilon ^2)}f(v) - угол смещения перицентра за оборот,

где f(v)=2\sqrt{1-\frac{v^2}{C^2}}+1

Теперь нужно показать, как работать под арксинусом для любой v

Вещество на орбите горизонта событий черной дыры

Для проверки формулы движения перицентра и её природы запустим по орбите радиусом R_{g} тело. Пусть масса ЧД равна 10 массам Солнца. Орбитальная скорость, естественно, постоянна и равна C. Никаких особенностей орбита не имеет, эксцентриситет её равен нулю - это строго круговая орбита.

Теперь об ожиданиях от расчета. Поскольку при v_{orb}=C обе итерации становятся равноправными, то за оборот они должны накопить каждая по \pi радиан. Но для приближения к реальности рассчитаем каждую из них раздельно.

Для большой итерации, которая работает всегда, при любой орбитальной скорости, и в случае движения перигелия Меркурия отвечает за основное орбитальное движения тела

\varphi = arcsin(\frac{GM\lambda _{c}}{R_{g}^2C^2})\nu \frac{2\pi R_{g}}{C}, где

G - гравитационная постоянная,

M - масса черной дыры,

\lambda _{c} - Комптоновская длина волны протона,

R_{g}=\frac{2GM}{C^2} - гравитационный, он же орбитальный радиус,

\nu - Комптоновская частота протона,

\frac{2\pi R_{g}}{C} - время полного орбитального оборота.

Для любой массы черной дыры \varphi = \pi, что и ожидалось. Вторая часть должна быть тем, что мы называли движением перицентра (2)

\Delta \varphi =2\pi \frac{GM}{C^2a(1-\varepsilon ^2)}f(v) - угол смещения перицентра за оборот,

где f(v)=2\sqrt{1-\frac{v^2}{C^2}}+1

В  случае ЧД формула значительно упрощается до \Delta \varphi =2\pi \frac{GM}{C^2R_{g}},

которая при подстановке значений дает \Delta \varphi =\pi

 

Расчет периастра для двойного пульсара Халса-Тейлора (B1913+16)

Массы компонентов и орбитальные характеристики:

M_{1} = 1,4414(2) M⊙, 

M_{2} = 1,3867(2) M⊙, эксцентриситет \varepsilon  = 0.617134,

время оборота P = 7,75 час = 2,79\cdot 10^4 сек, средняя скорость движения по орбите 200 км/с.

Из уравнения P=2\pi {\sqrt {\frac {a^{3}}{G(M_{1}+M_{2})}}} можно выразить a - большую полуось

a=\sqrt[3]{\frac{GP^2(M_{1}+M_{2})}{4\pi ^2}}

Подставляя значения в \Delta \varphi =2\pi \frac{GM}{C^2a(1-\varepsilon ^2)}f(v)\eqno(2)=4,2241°  градусов в год.

При этом в уравнение f(v)=2\sqrt{1-\frac{v^2}{C^2}}+1 подставляется относительная скорость компонентов системы v=400 км/сек.*

*Для таких малых скоростей f(v) можно считать равной 3.

Расчет периастра для двойного пульсара B2127+11C

Массы компонентов и орбитальные характеристики:

M_{1} = 1,358 M⊙, 

M_{2} = 1,354 M⊙, эксцентриситет \varepsilon  = 0.681395,

время оборота P = 8,047 час = 2,8968\cdot 10^4 сек,

средняя скорость движения по орбите 170 км/с.

Пользуясь выкладками предыдущей задачи, получим \Delta \varphi  = 4,460 градусов в год.

Расчет периастра для двойного пульсара J1807−2500B

Массы компонентов и орбитальные характеристики:

M_{1} = 1,3655 M⊙, 

M_{2} = 1,2064 M⊙, эксцентриситет \varepsilon  = 0.747033,

время оборота P = 9,95667 суток = 8,6025\cdot10^5 сек.

Пользуясь выкладками предыдущих задач, получим \Delta \varphi  = 1,1 угловой минуты в год.

Сильное взаимодействие из гравитационного

P.S. Очень похоже на то, что количество фотонов в частице определяет ее спин. Фотон - одна частица - спин 1 - бозон. Протон - одна частица - два фотона - спин 1/2 - фермион.

 

Устойчивость протона. Квантовые эффекты гравитации

Устойчивость протона. Работает только закон Ньютона

Рис.8* Устойчивость протона. Работает только ЗВТ

Имеем нашу модель протона на орбите Меркурия. Рассмотрим гравитационное влияние Солнца на пару. В точках A и B рассчитывается ускорение свободного падения \hat{g} фотонов друг на друга. Сразу же заметим, что ускорение свободного падения фотонов друг на друга на шесть порядков меньше, чем ускорение свободного падения \tilde{g} к Солнцу на высоте орбиты Меркурия. Каким же образом системе удается соблюсти стабильность?

За счет особенностей строения.

Давайте задумаемся над тем, отчего же зависит поведение системы? А система ведет себя так, что фотон упадет на другой фотон не на величину \hat{g}t^2, а на комптоновскую длину волны \lambda _{c}. Он по-другому не умеет. Если в макромире это незаметно, то на уровне взаимодействия фотонов в паре очень даже работает. И здесь важна не величина взаимного притяжения объектов, а разность между напряженностью гравитационного поля (напряжённость гравитационного поля численно (и по размерности) равна ускорению свободного падения g в этом поле) в разных частях сферы локализации фотона. Именно это и определит, куда далее переместится фотон из пары, а на сколько он переместится – известно заранее – на комптоновскую длину волны \lambda _{c}.

Для начала выясним, каково же влияние гравитационных полей – собственного гравитационного взаимодействия фотонов в протоне и поля тяготения Солнца - на выбор точки начала локализации для верхнего расположения фотонов на рисунке.

\hat{g}_{A}=\frac{Gm_{p}}{9\lambda _{c}^2} - ускорение свободного падения левого фотона на правый в точке A.

\hat{g}_{B}=\frac{Gm_{p}}{\lambda _{c}^2} - ускорение свободного падения левого фотона на правый в точке B.

Здесь m_{p} – масса протона.

Абсолютная разница \hat{g}_{B}-\hat{g}_{A} составляет 5,65\cdot10^{-8} м/сек2.

Точки C и D рассчитываются относительно центрального тела (Солнца).

\tilde{g}_{C}=\frac{GM}{(R+\lambda _{c})^2};             \tilde{g}_{D}=\frac{GM}{(R-\lambda _{c})^2}.

Здесь M – масса Солнца, R – 58 миллионов километров – средний радиус орбиты Меркурия.

Абсолютная разница \tilde{g}_{D}=\tilde{g}_{C} составляет 3,62\cdot10^{-27} м/сек2.

Несмотря на то, что ускорение свободного падения протона на Солнце на высоте орбиты Меркурия на шесть порядков больше, чем ускорение свободного падения фотонов в протоне друг на друга, решающее значение играет взаимная близость фотонов и их размеры. Гравитационное взаимодействие фотонов в протоне между собой в таком положении оказывается на 20 порядков сильнее, чем такое же взаимодействие протона с Солнцем.

В нижнем положении, когда протон представляет из себя два «провалившихся» друг в друга фотона, а расстояние между их центрами составляет очень малую величину (гравитационного радиуса (~10-54 м)?), обе полусферы представляют из себя полусферы практически одинаковой вероятности для возникновения двух новых фотонов. Однако в точках k и l эта вероятность практически равна нулю, а в точках j и i – максимальна.

В этом случае в полной мере работает гравитационное поле Солнца, и центр масс фотонов в протоне перемещается вниз (см. Рис.8*) на \tilde{g}t^2.

5.3.Сильное взаимодействие из гравитационного

В пункте 5.2 мы подчеркнули, что из-за особенностей компоновки протона из двух фотонов их падение друг на друга из верхнего положения (Рис.8*) в нижнее происходит не на величину \hat{g}t^2, где \hat{g} - ускорение свободного падения фотонов друг на друга, а на комптоновскую длину волны \lambda _{c}.

Отношение \hat{g}t^2 к комптоновской длине волны \lambda _{c} даст нам понятие о том, с какими силами мы имеем дело. Тот же результат мы можем получить и сравнивая силы \hat{g}.

Рассмотрим верхнее положение Рис.8*. Левый фотон падает на правый, и в классическом случае должен переместиться на \hat{g}t^2 в сторону правого фотона. То же должен в классическом случае сделать и правый фотон, но мы его пока не рассматриваем, чтобы не усложнять картину.

\hat{g}=\frac{Gm_{p}}{(2\lambda _{c}^2)}=\frac{Gm_{p}}{4\lambda _{c}^2}, где m_{p} - масса протона, \lambda _{c} - комптоновская длина волны протона.

t=\frac{\lambda _{c}}{C}, где t - время одной итерации протона из верхнего положения в нижнее на рис.8*, C - скорость света.

Тогда \hat{g}t^2=\frac{Gm_{p}}{4\lambda _{c}^2}\cdot \frac{\lambda _{c}^2}{C^2}.

Учитывая, что m_{p}=\frac{h}{C\lambda _{c}}, получаем \hat{g}t^2=\frac{Gh}{4\lambda _{c}C^3}=3,1042\cdot 10^{-55} метра.

Это классическое падение левого фотона на правый или результат классического гравитационного взаимодействия фотонов в протоне. Однако реально фотон переместился на \lambda _{c}=1,3212\cdot10^{-15} метра.

Отношение этой величины к классическому перемещению, очевидно, даст отношение сил взаимодействий

\frac{\lambda _{c}}{\hat{g}t^2}=4,2564\cdot 10^{39} .

Очень похоже, что мы работаем с сильным взаимодействием.

Вместо использования отношения перемещений в квантовом и классическом случаях, мы можем сравнить силы взаимодействия.

Одну мы вычисляем напрямую из законов гравитации \hat{g}m_{p}=\frac{Gm_{p}}{4\lambda _{c}^2}m_{p}=2,6726\cdot 10^{-35} Ньютонов.

А теперь зададимся вопросом: какова же должна быть сила \tilde{g}m_{p}, чтобы фотон упал на величину Комптоновской длины волны. Это не трудно вычислить.

\tilde{g}t^2=\lambda _{c}, отсюда \tilde{g}m_{p}=\frac{\lambda _{c}}{t^2}m_{p}=\frac{C^2}{\lambda _{c}}m_{p}=1,1372\cdot 10^{5} Ньютонов.

Отношение \frac{\tilde{g}m_{p}}{\hat{g}m_{p}}=4,2564\cdot 10^{39}. То есть мы получили ту же величину, но она более корректна. Это отношение внутринуклонной силы к гравитационной для одного и того же объекта.

О постоянной Планка

\nu - частота фотона размерностью \left[ \frac{1}{sec}\right]

Тогда h=\frac{E}{\nu} - это значит, что за один период колебания для фотона любой частоты "переносится" строго определенная энергия, равная E=h\nu^{*}, где \nu^{*} - частота в 1 Герц, одно колебание в секунду.

Проверяем на фотоне зеленого цвета с частотой 5,45•1014 Гц и энергией h\nu =3,61•10-19 Дж

Делим энергию на частоту и получаем постоянную Планка. Но это пример тривиальный.

Как быть с электроном? А вот так: E=mC^2 = 9,109•10-31 (кг) умножаем на квадрат скорости света и получившуюся энергию делим на Комптоновскую частоту электрона 1,23•1020 Гц. Получаем постоянную Планка.

Так же поступаем и с протоном. Для него масса 1,67•10-27 кг, Комптоновская частота 2,27•1023 Гц.

Так что секунда у постоянной Планка все же остается, чтобы в точности получить энергию численно равную постоянной Планка, когда поделим её на частоту в 1 Герц.