Отклонение светового луча в поле тяготения Солнца

2.2. Рассмотрим движение фермионов и фотонов в полях тяготения

2.2.1. Рассеяние фермиона (частицы) полем Земли

На какой угол \Theta изменится направление скорости частицы под действием поля земного тяготения (рис.1)? Скорость частицы на бесконечности равна v_{oo}. Учитываем, что частица движется по гиперболической траектории. Геометрические свойства гиперболы позволяют доказать, что угол рассеяния \Theta, прицельное расстояние b и расстояние r_{m} от центра планеты до ближайшей точки B траектории частицы связаны соотношением

tg\frac{\Theta }{2}=\frac{b^2-r_{m}^2}{2br_{m}}                           (1)

Действительно, гипербола - это геометрическое место точек, разность расстояний до которых от двух заданных точек O и O', называемых фокусами (рис.2), постоянна: r_{1}-r_{2}=const. Один из фокусов гиперболы O совпадает с центром Земли, второй фокус O' лежит на прямой, проходящей через центр Земли и и ближайшую к центру точку B траектории.

На бесконечно больших расстояниях от Земли как при приближении, так и при удалении скорость частицы направлена по асимптоте гиперболы, поэтому задача состоит в нахождении угла \Theta между асимптотами. Точка пересечения асимптот лежит посередине между фокусами.

Приравняем разности расстояний от фокусов O и O' до бесконечно удаленной точки - это отрезок O'C на рисунке 2 - и до ближайшей к центру Земли точки. Из треугольника OO'C находим OC=2b,

O'C=2btg\frac{\Theta }{2}, OO'=\frac{2b}{cos\frac{\Theta }{2}}.

Разность расстояний от фокусов до точки B составляет

BO'-BO=(OO'-BO)-DO,

где BO=r_{m}.

Теперь условие равенства разности расстояний до выбранных точек можно записать в виде

2btg\frac{\Theta }{2}=\frac{2b}{cos\frac{\Theta }{2}}-2r_{m}.

Перенося 2r_{m} в левую часть, возводя обе части в квадрат и используя тождество

\frac{1}{cos^2\Theta }=1+tg^2\Theta

получаем формулу (1).

Запишем теперь законы сохранения энергии E и момента импульса L частицы для участка AB её траектории (см. рис.1):

E_{A}=E_{B}, L_{A}=L_{B} или

\frac{mv_{oo}^2}{2}=\frac{mv_{m}^2}{2}-\frac{GMm}{r_{m}},

bv_{oo}=r_{m}v_{m},             (2)

где v_{m} - скорость частицы в точке B; мы учли, что точка A находится в бесконечности, поэтому L_{A}=L_{oo}=r_{0}mv_{oo}sin\alpha _{0}=bmv_{oo}, а

L_{B}=r_{m}mv_{m}sin90°=r_{m}mv_{m}. (Вместо закона сохранения момента импульса можно использовать второй закон Кеплера). Из равенства (2) получаем

r_{m}^2+\frac{2GM}{v_{oo}^2}r_{m}-b^2=0.        (3)

Если считать заданным расстояние r_{m}, то для прицельного расстояния b находим

b=r_{m}\sqrt{1+\frac{2GM}{r_{m}v_{oo}^2}}.

Если считать заданным расстояние b, то для r_{m} находим

r_{m}=\frac{2GM}{v_{oo}^2}\left(\sqrt{1+\left(\frac{bv_{oo}^2}{GM} \right)^2} -1\right).       (4)

Для определенности будем считать известным прицельный параметр b. Тогда, с учетом (3), для угла рассеяния получаем

tg\frac{\Theta }{2}=\frac{GM}{bv_{oo}}         (5)

Частица не задевает планету, если r_{m}\geq R (см. рис.1). При r_{m}=R расстояние b оказывается минимальным и равным


b_{min}=R\sqrt{1+\frac{2GM}{Rv_{oo}^2}}=R\sqrt{1+\left(\frac{v_{2c}}{v_{oo}} \right)^2},
где v_{2c}=\sqrt{\frac{2GM}{R}} - вторая космическая (параболическая) скорость. При заданном значении v_{oo} и минимальном прицельном расстоянии b_{min} угол отклонения (рассеяния) максимален: \Theta =\Theta _{max} и
tg\frac{\Theta _{max}}{2}=\frac{\left(\frac{v_{2c}}{v_{oo}} \right)^2}{2\sqrt{1+\left(\frac{v_{2c}}{v_{oo}} \right)^2}}=\frac{\frac{GM}{Rv_{oo}^2}}{\sqrt{1+\frac{2GM}{Rv_{oo}^2}}}.
Отсюда следуют частные случаи:
1) Если v_{oo}\gg v_{2c}, то b_{min}=R и, следовательно,
tg\frac{\Theta _{max}}{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{v_{2c}}{v_{oo}} \right)^2=\frac{GM}{Rv_{oo}^2}.
Так как \frac{v_{2c}}{v_{oo}}\ll 1, то \Theta _{max}=\frac{2GM}{Rv_{oo}^2}
(мы учли, что при x\rightarrow 0 tg x = x).
2) Если v_{oo}\ll v_{2c}, то формула для угла рассеяния приводится к виду
tg\frac{\Theta _{max}}{2}=\frac{v_{2c}}{2v_{oo}}.
В предельном случае, когда \frac{v_{2c}}{v_{oo}}\rightarrow к бесконечности, получаем tg\frac{\Theta _{max}}{2}\rightarrow к бесконечности и, следовательно, \Theta _{max}\rightarrow 180 градусов.
Таким образом, при достаточно малых значениях v_{oo} направление скорости частицы при облете центрального тела изменится практически на противоположное.
Задачу можно решить из уравнения траектории частицы в полярных координатах:
\frac{p}{r}=1+\epsilon cos \varphi,                       (6)
где \varphi - полярный угол, p=\frac{L^2}{2m\alpha } -фокальный параметр частицы, \epsilon =\sqrt{1+\frac{2EL^2}{\alpha ^2m}} - эксцентриситет орбиты, \alpha =GMm, причем m\ll M, E и L - полная механическая энергия и момент импульса частицы соответственно. Из начальных условий получаем
E=E_{oo}=\frac{mv_{oo}^2}{2}, L=L_{oo}=mbv_{oo}.
Следовательно, эксцентриситет орбиты равен
\epsilon =\sqrt{1+\left(\frac{bv_{oo}^2}{GM} \right)^2}                  (7)
Так как \epsilon >1, частица движется по гиперболической траектории. Из выражения (6) следует, что при \varphi =0 расстояние r минимально и равно
r_{m}=\frac{p}{1+\epsilon }=a\left(\epsilon -1 \right),                  (8)
где a=\frac{p}{\epsilon ^2-1}=\frac{\alpha }{2E} - полуось гиперболы. Эту формулу (8) можно привести к виду (4).
Определим угол \varphi _{m} между линией, соединяющей точки O и B (полярной осью), и направлением асимптоты K_{1}N_{1}, к которой приближается траектория частицы, удаляющейся в бесконечность (см. рис.1).
Поскольку при \varphi =\varphi _{m} r= бесконечности, то из формулы (6) получаем
cos\varphi _{m}=-\frac{1}{\epsilon }.
Угол отклонения \Theta и угол \varphi _{m} связаны соотношением \Theta =-\pi +2\varphi _{m}, поэтому последнее равенство приобретает вид
tg\frac{\Theta }{2}=\frac{1}{\sqrt{\epsilon ^2-1}}.
Эту формулу можно получить непосредственно из свойств гиперболы. Подставляя сюда выражение (7) для \epsilon, снова получаем формулу (5).
Задача 2 - Отклонение светового луча Солнцем
Следует оценить угол отклонения \Theta луча света при его прохождении вблизи поверхности Солнца.
Масса Солнца M=2\cdot 10^{30} кГ, радиус Солнца R=7\cdot 10^{8} метров.
Пока для простоты будем считать, что свет состоит из корпускул массой m. Так как корпускула имеет массу, её траектория должна искривляться под действием гравитации, подобно тому, как искривляется траектория обычных частиц или тел в полях тяготения центральных тел.
Предположим, что световая корпускула движется в поле звезды по гиперболической траектории (см. рис.1). Если рассматривать световую корпускулу как классическую частицу с кинетической энергией E_{k}=\frac{mv^2}{2}=\frac{mC^2}{2}, то для оценки угла \Theta можем воспользоваться результатами задачи 1: формула (5) теперь принимает вид
tg\frac{\Theta }{2}=\frac{GM}{bC^2},
где b\geq R. Легко убедиться в том, что для обычных небесных тел массой M и радиусом R выполняется условие \frac{GM}{RC^2}\ll 1, R\leq r\leq,
которое называется условием, или приближением, слабого поля (именно при этом условии поля тяготения являются ньютоновскими). Например, на поверхности Солнца \frac{GM}{RC^2}=10^{-6}. Учитывая малость угла \Theta, можно записать
\Theta =\frac{2GM}{bC^2},
тогда для светового луча, проходящего вблизи поверхности звезды (b=R), получим
\Theta =\frac{2GM}{RC^2}. Для Солнца \Theta =0,87".
Заметим, что минимальное расстояние r_{m} по-прежнему определяется формулой (4), которая при v_{oo}=C принимает вид
r_{m}=\frac{GM}{C^2}\left(\sqrt{1+\left(\frac{bC^2}{GM} \right)^2} -1\right)=b\left(1-\frac{GM}{bC^2} \right).
Очевидно, что рассмотренный способ решения задачи является некорректным с точки зрения современной физической теории. В рамках данного способа скорость световой корпускулы изменяется от v_{oo}=C до v_{m}=\frac{bv_{oo}}{r_{m}}=\frac{bC}{r_{m}}.
Понятно, что при b\approx r_{m}\approx R v_{m}\approx v_{oo}\approx C, но это приближение ничего не определяет по существу: скорость света остается переменной величиной. Кроме того, теперь мы знаем, что классическая формула E_{k}=\frac{mv^2}{2}, где v\ll C, к световым частицам неприменима: энергия световой частицы, т.е. кванта света, фотона, определяется формулой Планка-Эйнштейна
E=mC^2=h\nu,
а скорость фотона в вакууме всегда равна C.
Теперь решим задачу другим способом, исходя из квантовой теории света, движущегося в слабом поле тяготения звезды. Полная энергия фотона равна
E=h\nu - \frac{GMm}{r}=h\nu \left(1-\frac{GM}{rC^2} \right)=const
(мы учли, что масса фотона равна m=\frac{h\nu }{C^2}). Момент импульса фотона равен
L=rmC\cdot sin\alpha =r\frac{h\nu }{C}sin\alpha =const.
Рассмотрим движение фотона на участке AB траектории, которую по-прежнему будем считать гиперболической (см. рис.1). Законы сохранения энергии: E_{A}=E_{B} и момента импульса L_{A}=L_{B} дают уравнения
\nu_{0}=\nu \left(1-\frac{GM}{r_{m}C^2} \right),
b\nu_{0}=r_{m}\nu,
где \nu_{0} - частота фотона в точке A, находящейся в бесконечности, \nu - частота фотона в точке B на расстоянии r_{m} от центра звезды. Из первого уравнения непосредственно следует, что \nu >\nu _{0} - фиолетовое гравитационное смещение. Из обоих уравнений получаем
r_{m}^2-br_{m}+\frac{GMb}{C^2}=0.
Если считать заданным прицельный параметр b, то
r_{m}=\frac{b}{2}\left(1\pm \sqrt{1-\frac{2R_{g}}{b}} \right),
где R_{g}=\frac{2GM}{C^2} - гравитационный радиус (или радиус Шварцшильда). Для обычных небесных тел
\frac{R_{g}}{R}=\frac{2GM}{RC^2}\ll 1, т.е. поля тяготения являются слабыми. Например, гравитационный радиус Солнца равен 3 км.
Так как b\geq R, то в приближении слабого поля можно записать
r_{m}=\frac{b}{2}\left(1\pm \left(1-\frac{R_{g}}{2b} \right) \right),
или
r_{m_{1}}=b\left(1-\frac{R_{g}}{2b} \right) и \(r_{m_{2}}=\frac{R_{g}}{2}.
Очевидно, что второе решение не имеет смысла, поэтому окончательно получаем
r_{m}=b\left(1-\frac{R_{g}}{2b} \right).
Аналогично, для угла отклонения \Theta находим
tg\frac{\Theta }{2}=\frac{R_{g}}{2b}=\frac{GM}{bC^2},
\Theta =\frac{R_{g}}{b}=\frac{2GM}{bC^2}.
Как видим, в приближении слабого поля результаты, полученные с обеих точек зрения - классической и квантовой - полностью совпадают.
Поправка ОТО
Отметим, что в 1915 году расчет угла отклонения выполнил Альберт Эйнштейн. Согласно ОТО, в поле тяготения изменяются законы геометрии и ход времени. Из уравнений ОТО следует, что траектория светового луча в слабом поле тяготения звезды определяется уравнением
\frac{\frac{b^2C^2}{GM}}{r}=1+\frac{bC^2}{GM}cos\varphi +sin^2\varphi.
Как видно, это уравнение отличается от уравнения траектории классической световой корпускулы членом sin^2\varphi. Учитывая, что \Theta =-\pi +2\varphi _{m}, получаем формулу Эйнштейна для угла отклонения светового луча:
\Theta =\frac{2R_{g}}{b}=\frac{4GM}{bC^2}.
Для луча, проходящего вблизи поверхности звезды (b=R), этот угол равен
\Theta =\frac{4GM}{RC^2}.
Для Солнца \Theta =1,75".
Следствие из фотонной физики
Частица вещества, для которой и производились расчеты, представляет из себя пару одночастотных и синфазных фотонов. Это система устойчива и, будучи разогнана до скорости света, остается устойчивой. Как видно из анимации, фотоны остаются в составе пары. При этом стоит заметить, что на отклонение в поле гравитации на каждый фотон влияет не только собственное инерционное поле, но и поле второго фотона. Поэтому угол отклонения фотонов в паре будет в два раза меньший. Если один из фотонов убрать, то на отклонение фотона полем гравитации центрального тела будет влиять только собственное инерционное поле. Поэтому для угла отклонения следует использовать формулу \Theta =\frac{4GM}{RC^2}, что соответствует решению Эйнштейна. При этом, в отличие от фотона, для вещества по-прежнему будет справедлива формула \Theta =\frac{2GM}{RC^2}.

Разгон вещества

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.