Отклонение светового луча в поле тяготения Солнца

2.2. Рассмотрим движение фермионов и фотонов в полях тяготения

2.2.1. Рассеяние фермиона (частицы) полем Земли

На какой угол $\Theta$ изменится направление скорости частицы под действием поля земного тяготения (рис.1)? Скорость частицы на бесконечности равна $v_{oo}$ . Учитываем, что частица движется по гиперболической траектории. Геометрические свойства гиперболы позволяют доказать, что угол рассеяния $\Theta$ , прицельное расстояние $b$ и расстояние $r_{m}$ от центра планеты до ближайшей точки $B$ траектории частицы связаны соотношением

$tg\frac{\Theta }{2}=\frac{b^2-r_{m}^2}{2br_{m}}$ $(1)$

Действительно, гипербола - это геометрическое место точек, разность расстояний до которых от двух заданных точек $O$ и $O'$ , называемых фокусами (рис.2), постоянна: $r_{1}-r_{2}=const$ . Один из фокусов гиперболы $O$ совпадает с центром Земли, второй фокус $O'$ лежит на прямой, проходящей через центр Земли и и ближайшую к центру точку $B$ траектории.

На бесконечно больших расстояниях от Земли как при приближении, так и при удалении скорость частицы направлена по асимптоте гиперболы, поэтому задача состоит в нахождении угла $\Theta$ между асимптотами. Точка пересечения асимптот лежит посередине между фокусами.

Приравняем разности расстояний от фокусов $O$ и $O'$ до бесконечно удаленной точки - это отрезок $O'C$ на рисунке 2 - и до ближайшей к центру Земли точки. Из треугольника $OO'C$ находим $OC=2b$ ,

$O'C=2btg\frac{\Theta }{2}$ , $OO'=\frac{2b}{cos\frac{\Theta }{2}}$ .

Разность расстояний от фокусов до точки $B$ составляет

$BO'-BO=(OO'-BO)-DO$ ,

где $BO=r_{m}$ .

Теперь условие равенства разности расстояний до выбранных точек можно записать в виде

$2btg\frac{\Theta }{2}=\frac{2b}{cos\frac{\Theta }{2}}-2r_{m}$ .

Перенося $2r_{m}$ в левую часть, возводя обе части в квадрат и используя тождество

$\frac{1}{cos^2\Theta }=1+tg^2\Theta$

получаем формулу $(1)$ .

Запишем теперь законы сохранения энергии $E$ и момента импульса $L$ частицы для участка $AB$ её траектории (см. рис.1):

$E_{A}=E_{B}$ , $L_{A}=L_{B}$ или

$\frac{mv_{oo}^2}{2}=\frac{mv_{m}^2}{2}-\frac{GMm}{r_{m}}$ ,

$bv_{oo}=r_{m}v_{m}$ , $(2)$

где $v_{m}$ - скорость частицы в точке $B$ ; мы учли, что точка $A$ находится в бесконечности, поэтому $L_{A}=L_{oo}=r_{0}mv_{oo}sin\alpha _{0}=bmv_{oo}$ , а

$L_{B}=r_{m}mv_{m}sin90°=r_{m}mv_{m}$ . (Вместо закона сохранения момента импульса можно использовать второй закон Кеплера). Из равенства $(2)$ получаем

$r_{m}^2+\frac{2GM}{v_{oo}^2}r_{m}-b^2=0$ . $(3)$

Если считать заданным расстояние $r_{m}$ , то для прицельного расстояния $b$ находим

$b=r_{m}\sqrt{1+\frac{2GM}{r_{m}v_{oo}^2}}$ .

Если считать заданным расстояние $b$ , то для $r_{m}$ находим

$r_{m}=\frac{2GM}{v_{oo}^2}\left(\sqrt{1+\left(\frac{bv_{oo}^2}{GM} \right)^2} -1\right)$ . $(4)$

Для определенности будем считать известным прицельный параметр $b$ . Тогда, с учетом (3), для угла рассеяния получаем

$tg\frac{\Theta }{2}=\frac{GM}{bv_{oo}}$ $(5)$

Частица не задевает планету, если $r_{m}\geq R$ (см. рис.1). При $r_{m}=R$ расстояние $b$ оказывается минимальным и равным

$b_{min}=R\sqrt{1+\frac{2GM}{Rv_{oo}^2}}=R\sqrt{1+\left(\frac{v_{2c}}{v_{oo}} \right)^2}$ ,

где $v_{2c}=\sqrt{\frac{2GM}{R}}$ - вторая космическая (параболическая) скорость. При заданном значении $v_{oo}$ и минимальном прицельном расстоянии $b_{min}$ угол отклонения (рассеяния) максимален: $\Theta =\Theta _{max}$ и

$tg\frac{\Theta _{max}}{2}=\frac{\left(\frac{v_{2c}}{v_{oo}} \right)^2}{2\sqrt{1+\left(\frac{v_{2c}}{v_{oo}} \right)^2}}=\frac{\frac{GM}{Rv_{oo}^2}}{\sqrt{1+\frac{2GM}{Rv_{oo}^2}}}$ .

Отсюда следуют частные случаи:

1) Если $v_{oo}\gg v_{2c}$ , то $b_{min}=R$ и, следовательно,

$tg\frac{\Theta _{max}}{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{v_{2c}}{v_{oo}} \right)^2=\frac{GM}{Rv_{oo}^2}$ .

Так как $\frac{v_{2c}}{v_{oo}}\ll 1$ , то $\Theta _{max}=\frac{2GM}{Rv_{oo}^2}$

(мы учли, что при $x\rightarrow 0$ $tg x = x$ ).

2) Если $v_{oo}\ll v_{2c}$ , то формула для угла рассеяния приводится к виду

$tg\frac{\Theta _{max}}{2}=\frac{v_{2c}}{2v_{oo}}$ .

В предельном случае, когда $\frac{v_{2c}}{v_{oo}}\rightarrow$ к бесконечности, получаем $tg\frac{\Theta _{max}}{2}\rightarrow$ к бесконечности и, следовательно, $\Theta _{max}\rightarrow 180$ градусов.

Таким образом, при достаточно малых значениях $v_{oo}$ направление скорости частицы при облете центрального тела изменится практически на противоположное.

Задачу можно решить из уравнения траектории частицы в полярных координатах:

$\frac{p}{r}=1+\epsilon cos \varphi$ , $(6)$

где $\varphi$ - полярный угол, $p=\frac{L^2}{2m\alpha }$ -фокальный параметр частицы, $\epsilon =\sqrt{1+\frac{2EL^2}{\alpha ^2m}}$ - эксцентриситет орбиты, $\alpha =GMm$ , причем $m\ll M$ , $E$ и $L$ - полная механическая энергия и момент импульса частицы соответственно. Из начальных условий получаем

$E=E_{oo}=\frac{mv_{oo}^2}{2}, L=L_{oo}=mbv_{oo}$ .

Следовательно, эксцентриситет орбиты равен

$\epsilon =\sqrt{1+\left(\frac{bv_{oo}^2}{GM} \right)^2}$ $(7)$

Так как $\epsilon >1$ , частица движется по гиперболической траектории. Из выражения $(6)$ следует, что при $\varphi =0$ расстояние $r$ минимально и равно

$r_{m}=\frac{p}{1+\epsilon }=a\left(\epsilon -1 \right)$ , $(8)$

где $a=\frac{p}{\epsilon ^2-1}=\frac{\alpha }{2E}$ - полуось гиперболы. Эту формулу $(8)$ можно привести к виду $(4)$ .

Определим угол $\varphi _{m}$ между линией, соединяющей точки $O$ и $B$ (полярной осью), и направлением асимптоты $K_{1}N_{1}$ , к которой приближается траектория частицы, удаляющейся в бесконечность (см. рис.1).

Поскольку при $\varphi =\varphi _{m}$ $r=$ бесконечности, то из формулы $(6)$ получаем

$cos\varphi _{m}=-\frac{1}{\epsilon }$ .

Угол отклонения $\Theta$ и угол $\varphi _{m}$ связаны соотношением $\Theta =-\pi +2\varphi _{m}$ , поэтому последнее равенство приобретает вид

$tg\frac{\Theta }{2}=\frac{1}{\sqrt{\epsilon ^2-1}}$ .

Эту формулу можно получить непосредственно из свойств гиперболы. Подставляя сюда выражение $(7)$ для $\epsilon$ , снова получаем формулу $(5)$ .

Задача 2 - Отклонение светового луча Солнцем

Следует оценить угол отклонения $\Theta$ луча света при его прохождении вблизи поверхности Солнца.

Масса Солнца $M=2\cdot 10^{30}$ кГ, радиус Солнца $R=7\cdot 10^{8}$ метров.

Пока для простоты будем считать, что свет состоит из корпускул массой $m$ . Так как корпускула имеет массу, её траектория должна искривляться под действием гравитации, подобно тому, как искривляется траектория обычных частиц или тел в полях тяготения центральных тел.

Предположим, что световая корпускула движется в поле звезды по гиперболической траектории (см. рис.1). Если рассматривать световую корпускулу как классическую частицу с кинетической энергией $E_{k}=\frac{mv^2}{2}=\frac{mC^2}{2}$ , то для оценки угла $\Theta$ можем воспользоваться результатами задачи 1: формула $(5)$ теперь принимает вид

$tg\frac{\Theta }{2}=\frac{GM}{bC^2}$ ,

где $b\geq R$ . Легко убедиться в том, что для обычных небесных тел массой $M$ и радиусом $R$ выполняется условие $\frac{GM}{RC^2}\ll 1$ , $R\leq r\leq$ ∞,

которое называется условием, или приближением, слабого поля (именно при этом условии поля тяготения являются ньютоновскими). Например, на поверхности Солнца $\frac{GM}{RC^2}=10^{-6}$ . Учитывая малость угла $\Theta$ , можно записать

$\Theta =\frac{2GM}{bC^2}$ ,

тогда для светового луча, проходящего вблизи поверхности звезды $(b=R)$ , получим

$\Theta =\frac{2GM}{RC^2}$ . Для Солнца $\Theta =0,87"$ .

Заметим, что минимальное расстояние $r_{m}$ по-прежнему определяется формулой $(4)$ , которая при $v_{oo}=C$ принимает вид

$r_{m}=\frac{GM}{C^2}\left(\sqrt{1+\left(\frac{bC^2}{GM} \right)^2} -1\right)=b\left(1-\frac{GM}{bC^2} \right)$ .

Очевидно, что рассмотренный способ решения задачи является некорректным с точки зрения современной физической теории. В рамках данного способа скорость световой корпускулы изменяется от $v_{oo}=C$ до $v_{m}=\frac{bv_{oo}}{r_{m}}=\frac{bC}{r_{m}}$ .

Понятно, что при $b\approx r_{m}\approx R$ $v_{m}\approx v_{oo}\approx C$ , но это приближение ничего не определяет по существу: скорость света остается переменной величиной. Кроме того, теперь мы знаем, что классическая формула $E_{k}=\frac{mv^2}{2}$ , где $v\ll C$ , к световым частицам неприменима: энергия световой частицы, т.е. кванта света, фотона, определяется формулой Планка-Эйнштейна

$E=mC^2=h\nu$ ,

а скорость фотона в вакууме всегда равна $C$ .

Теперь решим задачу другим способом, исходя из квантовой теории света, движущегося в слабом поле тяготения звезды. Полная энергия фотона равна

$E=h\nu - \frac{GMm}{r}=h\nu \left(1-\frac{GM}{rC^2} \right)=const$

(мы учли, что масса фотона равна $m=\frac{h\nu }{C^2}$ ). Момент импульса фотона равен

$L=rmC\cdot sin\alpha =r\frac{h\nu }{C}sin\alpha =const$ .

Рассмотрим движение фотона на участке $AB$ траектории, которую по-прежнему будем считать гиперболической (см. рис.1). Законы сохранения энергии: $E_{A}=E_{B}$ и момента импульса $L_{A}=L_{B}$ дают уравнения

$\nu_{0}=\nu \left(1-\frac{GM}{r_{m}C^2} \right)$ ,

$b\nu_{0}=r_{m}\nu$ ,

где $\nu_{0}$ - частота фотона в точке $A$ , находящейся в бесконечности, $\nu$ - частота фотона в точке $B$ на расстоянии $r_{m}$ от центра звезды. Из первого уравнения непосредственно следует, что $\nu >\nu _{0}$ - фиолетовое гравитационное смещение. Из обоих уравнений получаем

$r_{m}^2-br_{m}+\frac{GMb}{C^2}=0$ .

Если считать заданным прицельный параметр $b$ , то

$r_{m}=\frac{b}{2}\left(1\pm \sqrt{1-\frac{2R_{g}}{b}} \right)$ ,

где $R_{g}=\frac{2GM}{C^2}$ - гравитационный радиус (или радиус Шварцшильда). Для обычных небесных тел

$\frac{R_{g}}{R}=\frac{2GM}{RC^2}\ll 1$ , т.е. поля тяготения являются слабыми. Например, гравитационный радиус Солнца равен 3 км.

Так как $b\geq R$ , то в приближении слабого поля можно записать

$r_{m}=\frac{b}{2}\left(1\pm \left(1-\frac{R_{g}}{2b} \right) \right)$ ,

или

$r_{m_{1}}=b\left(1-\frac{R_{g}}{2b} \right) и \(r_{m_{2}}=\frac{R_{g}}{2}$ .

Очевидно, что второе решение не имеет смысла, поэтому окончательно получаем

$r_{m}=b\left(1-\frac{R_{g}}{2b} \right)$ .

Аналогично, для угла отклонения $\Theta$ находим

$tg\frac{\Theta }{2}=\frac{R_{g}}{2b}=\frac{GM}{bC^2}$ ,

$\Theta =\frac{R_{g}}{b}=\frac{2GM}{bC^2}$ .

Как видим, в приближении слабого поля результаты, полученные с обеих точек зрения - классической и квантовой - полностью совпадают.

Поправка ОТО

Отметим, что в 1915 году расчет угла отклонения выполнил Альберт Эйнштейн. Согласно ОТО, в поле тяготения изменяются законы геометрии и ход времени. Из уравнений ОТО следует, что траектория светового луча в слабом поле тяготения звезды определяется уравнением

$\frac{\frac{b^2C^2}{GM}}{r}=1+\frac{bC^2}{GM}cos\varphi +sin^2\varphi$ .

Как видно, это уравнение отличается от уравнения траектории классической световой корпускулы членом $sin^2\varphi$ . Учитывая, что $\Theta =-\pi +2\varphi _{m}$ , получаем формулу Эйнштейна для угла отклонения светового луча:

$\Theta =\frac{2R_{g}}{b}=\frac{4GM}{bC^2}$ .

Для луча, проходящего вблизи поверхности звезды $(b=R)$ , этот угол равен

$\Theta =\frac{4GM}{RC^2}$ .

Для Солнца $\Theta =1,75"$ .

Следствие из фотонной физики

Частица вещества, для которой и производились расчеты, представляет из себя пару одночастотных и синфазных фотонов. Это система устойчива и, будучи разогнана до скорости света, остается устойчивой. Как видно из анимации, фотоны остаются в составе пары. При этом стоит заметить, что на отклонение в поле гравитации на каждый фотон влияет не только собственное инерционное поле, но и поле второго фотона. Поэтому угол отклонения фотонов в паре будет в два раза меньший. Если один из фотонов убрать, то на отклонение фотона полем гравитации центрального тела будет влиять только собственное инерционное поле. Поэтому для угла отклонения следует использовать формулу $\Theta =\frac{4GM}{RC^2}$ , что соответствует решению Эйнштейна. При этом, в отличие от фотона, для вещества по-прежнему будет справедлива формула $\Theta =\frac{2GM}{RC^2}$ .

Разгон вещества

Post navigation

Добавить комментарий Отменить ответ