Электрон на орбите протона

Вытащил квадрат заряда. Он мне был нужен для работы.
Сразу видно, что при подстановке в закон Кулона коэффициент $k$ сократится.

e^2=\frac{C^2\lambda _{c_{e}}}{2\pi k}\sqrt{\frac{V_{r}m_{e}m_{p}\lambda _{c_{p}}}{2\pi rC}} = 2,56 \cdot 10^{-38} C^{2}
где С - скорость света,
\lambda _{c_{e}} - Комптоновская длина волны электрона,
\lambda _{c_{p}} - Комптоновская длина волны протона,
k - коэффициент из закона Кулона,
m_{e} - масса электрона,
m_{p} - масса протона,
r - радиус первой Боровской орбиты,
V_{r} - скорость электрона на первой Боровской орбите.

Таким образом заряд записан с помощью метра, килограмма и секунды.
Это означает, что элементарный заряд перестал быть фундаментальной физической величиной.

История происхождения этой формулы

\alpha =\frac{1}{4\pi \varepsilon _{0}}\cdot \frac{e^2}{\hbar C} постоянная тонкой структуры для СИ
k=\frac{1}{4\pi \varepsilon _{0}} коэффициент в законе Кулона для СИ
\alpha =k\frac{e^2}{\hbar C}
\hbar =\frac{h}{2\pi } постоянная Дирака через постоянную Планка
\alpha =k\frac{2\pi e^2}{hC} * h=Cm_{e}\lambda _{c_{e}} и h=Cm_{p}\lambda _{c_{p}} используем оба
e^2=\frac{\alpha hC}{2\pi k} (***)
\alpha =k\frac{2\pi e^2}{C^2m_{e}\lambda _{c_{e}}} (1) через массу электрона
выражаем e^2  e^2=\frac{\alpha C^2m_{e}\lambda _{c_{e}}}{2\pi k} (1*)
\alpha =k\frac{2\pi e^2}{C^2m_{p}\lambda _{c_{p}}} (2) через массу протона
выражаем e^2  e^2=\frac{\alpha C^2m_{p}\lambda _{c_{p}}}{2\pi k} (2*)
Перемножим (1*) и (2*) e^4=\frac{\alpha ^2C^4m_{e}m_{p}\lambda _{c_{e}}\lambda _{c_{p}}}{4\pi ^2k^2} (@)
\alpha =\frac{\lambda _{c_{e}}}{2\pi r} (3) отношение Комптоновской длины волны электрона к длине первой Боровской орбиты
\alpha =\frac{V_{r}}{C} (4) отношение скорости электрона на первой Боровской орбите к скорости света
Перемножим (3) и (4) \alpha ^2=\frac{\lambda _{c_{e}V_{r}}}{2\pi rC} и подставляем вместо \alpha ^2 в (@)
e^4=\frac{\lambda _{c_{e}V_{r}}}{2\pi rC}\cdot \frac{C^4m_{e}m_{p}\lambda {c_{e}}\lambda _{c_{p}}}{4\pi ^2k^2}
Приводим в порядок
e^4=\frac{\lambda _{c_{e}}^2C^4V_{r}m_{e}m_{p}\lambda _{c_{p}}}{8\pi ^3k^2rC}
Извлекаем квадратный корень
e^2=\frac{C^2\lambda _{c_{e}}}{2\pi k}\sqrt{\frac{V_{r}m_{e}m_{p}\lambda _{c_{p}}}{2\pi rC}} = 2,56 \cdot 10^{-38} C^{2}    ***

Условие квантования орбит

Уравнение *** можно преобразовать к виду:

e^2=\frac{C^2\lambda _{c_{e}}}{2\pi k}\sqrt{m_{e}m_{p}\frac{V_{r}\lambda _{c_{p}}}{2\pi rC}}

или  e^2=\frac{C^2}{2\pi k}\sqrt{m_{e}m_{p}\lambda _{c_{e}}\lambda _{c_{p}}\frac{V_{r}\lambda _{c_{e}}}{2\pi r}}

или  e^2=\frac{hC\alpha }{2\pi k}

или  e^2=\frac{\hbar C\alpha }{k}

Тогда условие квантования орбит запишется в виде:

\begin{cases} \frac{Z\hbar C\alpha }{R^2}=\frac{m_{e}V^2}{R} \\ m_{e}VR=n\hbar \end{cases}                                 (##)

Чуть перепишем   \begin{cases} \frac{Z\hbar C\alpha }{R^2}=\frac{m_{e}V^2}{R} \\ n\hbar=m_{e}VR \end{cases}     и почленно разделим

\frac{ZC\alpha }{nR^2}=\frac{V}{R^2}    \rightarrow   \frac{ZC\alpha }{n}=V    \rightarrow   \frac{ZC\alpha }{V}=n

или  V_{n}=\frac{ZC\alpha }{n}

Теперь выразим радиусы орбит. Подставим выражение для V_{n} в уравнение системы (##):

m_{e}V_{n}R=n\hbar  \rightarrow    m_{e}\frac{ZC\alpha }{n}R=n\hbar  \rightarrow    R=\frac{n^2\hbar }{m_{e}ZC\alpha }

Или окончательно: R_{n}=\frac{n^2\hbar }{m_{e}ZC\alpha }

 

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.