Перигелий Меркурия и периастры двойных пульсаров

Перигелий Меркурия

Для определенности запустим по орбите вокруг центрального тела, например, протон, конструктивно оформленный в виде устойчивой структуры из двух синхронных и синфазных фотонов.

Орбитальная скорость

V_{orb}=\sqrt{\frac{GM}{b^2/a}}(1+2\varepsilon cos\Theta +\varepsilon ^2)

где:

M - масса центрального гравитирующего тела,

b - малая полуось орбиты,

a - большая полуось орбиты,

\varepsilon - эксцентриситет орбиты,

\Theta - истинная аномалия - угол между радиус-вектором R тела на орбите и направлением на перицентр из центра гравитирующего тела.

b=a\sqrt{1-\varepsilon ^2}

b^2=a^2(1-\varepsilon ^2)  подставляем в (1) и получаем

V=\sqrt{\frac{GM}{a(1-\varepsilon ^2)}(1+2\varepsilon cos\Theta +\varepsilon ^2)}

фокальный радиус (справа) r=a-\varepsilon x, где x - расстояние от центра до перигелия

g=\frac{GM}{R^2} ускорение свободного падения на расстоянии R от тела массы M

R=\frac{a(1-\varepsilon ^2)}{1+\varepsilon cos\Theta } - расстояние от фокуса с центральным телом до точки положения тела на орбите.

t=\frac{\lambda _{c}}{C}} - время одной итерации

где \lambda _{c} - Комптоновская длина волны протона, нейтрона, электрона

C - скорость света.

gt^2_{B}=\frac{GM\lambda _{c}^2}{R^2C^2} - падение за одну большую итерацию в метрах

gt^2_{m}=gt^2_{B}\frac{V_{orb}^2}{C^2} - условное падение за одну малую итерацию будет умножено на "тройку"

"Тройка" - f(v) - зависит от расстояния между центрами фотонов, выраженное в единицах \lambda _{c}

f(v)=\frac{2\lambda _{c}\sqrt{1-\frac{v^2}{C^2}}+\lambda _{c}}{\lambda _{c}}=2\sqrt{1-\frac{v^2}{C^2}}+1

где v - средняя орбитальная скорость.

Сама функция плавно изменяется от 3 при v_{orb}=0 до 1 при v_{orb}=C.

gt^2_{B}=\frac{GM\lambda _{c}^2}{R^2C^2 }

gt^2_{m}=\frac{GM\lambda _{c}^2}{R^2C^2}\frac{V_{orb}^2}{C^2}

arcsin(\frac{gt^2_{m}}{V_{orb}t})\nu T радиан - угол смещения перицентра за время прохождения телом одного градуса орбиты

где \nu =\frac{C}{\lambda _{c}} - Комптоновская частота протона, нейтрона, электрона,

T=\frac{R}{V_{orb}}sin(1^{\circ}) секунд на прохождение градуса \pi /180 орбиты.

arcsin(\frac{GM\lambda _{c}^2V_{orb}^2}{R^2C^2C^2V_{orb}t})$ при $V_{orb}\ll C работаем пока без arcsin,

тогда \frac{gt^2_{B}}{Ct}=\frac{GM\lambda _{c}^2V_{orb}^2}{R^2C^2C^2V_{orb}t}=\frac{GMV_{orb}^2t^2}{R^2C^2V_{orb}t}=\frac{GMV_{orb}t}{R^2C^2}

осталось домножить на \nu T

\begin{gathered}\frac{GMV_{orb}t}{R^2C^2}\nu T=\frac{GMV_{orb}t}{R^2C^2}\frac{C}{\lambda _{c}}\frac{R}{V_{orb}}sin(1^{\circ})=\frac{GM}{RC^2}sin(1^{\circ}) \end{gathered}
подставляем R

\frac{GM(1+\varepsilon cos\Theta )}{C^2a(1-\varepsilon ^2)}sin(1^{\circ})

Осталось проинтегрировать

\frac{GM}{C^2a(1-\varepsilon ^2)}\int_{0}^{\pi }1+\varepsilon cos\Theta d\Theta=\pi \frac{GM}{C^2a(1-\varepsilon ^2)} - угол смещения за половину оборота или

\Delta \varphi =2\pi \frac{GM}{C^2a(1-\varepsilon ^2)}f(v) - угол смещения перицентра за оборот,

где f(v)=2\sqrt{1-\frac{v^2}{C^2}}+1

Теперь нужно показать, как работать под арксинусом для любой v

Вещество на орбите горизонта событий черной дыры

Для проверки формулы движения перицентра и её природы запустим по орбите радиусом R_{g} тело. Пусть масса ЧД равна 10 массам Солнца. Орбитальная скорость, естественно, постоянна и равна C. Никаких особенностей орбита не имеет, эксцентриситет её равен нулю - это строго круговая орбита.

Теперь об ожиданиях от расчета. Поскольку при v_{orb}=C обе итерации становятся равноправными, то за оборот они должны накопить каждая по \pi радиан. Но для приближения к реальности рассчитаем каждую из них раздельно.

Для большой итерации, которая работает всегда, при любой орбитальной скорости, и в случае движения перигелия Меркурия отвечает за основное орбитальное движения тела

\varphi = arcsin(\frac{GM\lambda _{c}}{R_{g}^2C^2})\nu \frac{2\pi R_{g}}{C}, где

G - гравитационная постоянная,

M - масса черной дыры,

\lambda _{c} - Комптоновская длина волны протона,

R_{g}=\frac{2GM}{C^2} - гравитационный, он же орбитальный радиус,

\nu - Комптоновская частота протона,

\frac{2\pi R_{g}}{C} - время полного орбитального оборота.

Для любой массы черной дыры \varphi = \pi, что и ожидалось. Вторая часть должна быть тем, что мы называли движением перицентра (2)

\Delta \varphi =2\pi \frac{GM}{C^2a(1-\varepsilon ^2)}f(v) - угол смещения перицентра за оборот,

где f(v)=2\sqrt{1-\frac{v^2}{C^2}}+1

В  случае ЧД формула значительно упрощается до \Delta \varphi =2\pi \frac{GM}{C^2R_{g}},

которая при подстановке значений дает \Delta \varphi =\pi

 

Расчет периастра для двойного пульсара Халса-Тейлора (B1913+16)

Массы компонентов и орбитальные характеристики:

M_{1} = 1,4414(2) M⊙, 

M_{2} = 1,3867(2) M⊙, эксцентриситет \varepsilon  = 0.617134,

время оборота P = 7,75 час = 2,79\cdot 10^4 сек, средняя скорость движения по орбите 200 км/с.

Из уравнения P=2\pi {\sqrt {\frac {a^{3}}{G(M_{1}+M_{2})}}} можно выразить a - большую полуось

a=\sqrt[3]{\frac{GP^2(M_{1}+M_{2})}{4\pi ^2}}

Подставляя значения в \Delta \varphi =2\pi \frac{GM}{C^2a(1-\varepsilon ^2)}f(v)\eqno(2)=4,2241°  градусов в год.

При этом в уравнение f(v)=2\sqrt{1-\frac{v^2}{C^2}}+1 подставляется относительная скорость компонентов системы v=400 км/сек.*

*Для таких малых скоростей f(v) можно считать равной 3.

Расчет периастра для двойного пульсара B2127+11C

Массы компонентов и орбитальные характеристики:

M_{1} = 1,358 M⊙, 

M_{2} = 1,354 M⊙, эксцентриситет \varepsilon  = 0.681395,

время оборота P = 8,047 час = 2,8968\cdot 10^4 сек,

средняя скорость движения по орбите 170 км/с.

Пользуясь выкладками предыдущей задачи, получим \Delta \varphi  = 4,460 градусов в год.

Расчет периастра для двойного пульсара J1807−2500B

Массы компонентов и орбитальные характеристики:

M_{1} = 1,3655 M⊙, 

M_{2} = 1,2064 M⊙, эксцентриситет \varepsilon  = 0.747033,

время оборота P = 9,95667 суток = 8,6025\cdot10^5 сек.

Пользуясь выкладками предыдущих задач, получим \Delta \varphi  = 1,1 угловой минуты в год.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.