Перигелий Меркурия и периастры двойных пульсаров

Перигелий Меркурия

Для определенности запустим по орбите вокруг центрального тела, например, протон, конструктивно оформленный в виде устойчивой структуры из двух синхронных и синфазных фотонов.

Орбитальная скорость

$V_{orb}=\sqrt{\frac{GM}{b^2/a}}(1+2\varepsilon cos\Theta +\varepsilon ^2)$

где:

$M$ - масса центрального гравитирующего тела,

$b$ - малая полуось орбиты,

$a$ - большая полуось орбиты,

$\varepsilon$ - эксцентриситет орбиты,

$\Theta$ - истинная аномалия - угол между радиус-вектором $R$ тела на орбите и направлением на перицентр из центра гравитирующего тела.

$b=a\sqrt{1-\varepsilon ^2}$

$b^2=a^2(1-\varepsilon ^2)$ подставляем в (1) и получаем

$V=\sqrt{\frac{GM}{a(1-\varepsilon ^2)}(1+2\varepsilon cos\Theta +\varepsilon ^2)}$

фокальный радиус (справа) $r=a-\varepsilon x$ , где $x$ - расстояние от центра до перигелия

$g=\frac{GM}{R^2}$ ускорение свободного падения на расстоянии $R$ от тела массы $M$

$R=\frac{a(1-\varepsilon ^2)}{1+\varepsilon cos\Theta }$ - расстояние от фокуса с центральным телом до точки положения тела на орбите.

$t=\frac{\lambda _{c}}{C}}$ - время одной итерации

где $\lambda _{c}$ - Комптоновская длина волны протона, нейтрона, электрона

$C$ - скорость света.

$gt^2_{B}=\frac{GM\lambda _{c}^2}{R^2C^2}$ - падение за одну большую итерацию в метрах

$gt^2_{m}=gt^2_{B}\frac{V_{orb}^2}{C^2}$ - условное падение за одну малую итерацию будет умножено на "тройку"

"Тройка" - $f(v)$ - зависит от расстояния между центрами фотонов, выраженное в единицах $\lambda _{c}$

$f(v)=\frac{2\lambda _{c}\sqrt{1-\frac{v^2}{C^2}}+\lambda _{c}}{\lambda _{c}}=2\sqrt{1-\frac{v^2}{C^2}}+1$

где $v$ - средняя орбитальная скорость.

Сама функция плавно изменяется от $3$ при $v_{orb}=0$ до $1$ при $v_{orb}=C$ .

$gt^2_{B}=\frac{GM\lambda _{c}^2}{R^2C^2 }$

$gt^2_{m}=\frac{GM\lambda _{c}^2}{R^2C^2}\frac{V_{orb}^2}{C^2}$

$arcsin(\frac{gt^2_{m}}{V_{orb}t})\nu T$ радиан - угол смещения перицентра за время прохождения телом одного градуса орбиты

где $\nu =\frac{C}{\lambda _{c}}$ - Комптоновская частота протона, нейтрона, электрона,

$T=\frac{R}{V_{orb}}sin(1^{\circ})$ секунд на прохождение градуса $\pi /180$ орбиты.

$arcsin(\frac{GM\lambda _{c}^2V_{orb}^2}{R^2C^2C^2V_{orb}t})$ при $V_{orb}\ll C$ работаем пока без $arcsin$ ,

тогда $\frac{gt^2_{B}}{Ct}=\frac{GM\lambda _{c}^2V_{orb}^2}{R^2C^2C^2V_{orb}t}=\frac{GMV_{orb}^2t^2}{R^2C^2V_{orb}t}=\frac{GMV_{orb}t}{R^2C^2}$

осталось домножить на $\nu T$

$\begin{gathered}\frac{GMV_{orb}t}{R^2C^2}\nu T=\frac{GMV_{orb}t}{R^2C^2}\frac{C}{\lambda _{c}}\frac{R}{V_{orb}}sin(1^{\circ})=\frac{GM}{RC^2}sin(1^{\circ}) \end{gathered}$
подставляем $R$

$\frac{GM(1+\varepsilon cos\Theta )}{C^2a(1-\varepsilon ^2)}sin(1^{\circ})$

Осталось проинтегрировать

$\frac{GM}{C^2a(1-\varepsilon ^2)}\int_{0}^{\pi }1+\varepsilon cos\Theta d\Theta=\pi \frac{GM}{C^2a(1-\varepsilon ^2)}$ - угол смещения за половину оборота или

$\Delta \varphi =2\pi \frac{GM}{C^2a(1-\varepsilon ^2)}f(v)$ - угол смещения перицентра за оборот,

где $f(v)=2\sqrt{1-\frac{v^2}{C^2}}+1$

Теперь нужно показать, как работать под арксинусом для любой $v$

Вещество на орбите горизонта событий черной дыры

Для проверки формулы движения перицентра и её природы запустим по орбите радиусом $R_{g}$ тело. Пусть масса ЧД равна $10$ массам Солнца. Орбитальная скорость, естественно, постоянна и равна $C$ . Никаких особенностей орбита не имеет, эксцентриситет её равен нулю - это строго круговая орбита.

Теперь об ожиданиях от расчета. Поскольку при $v_{orb}=C$ обе итерации становятся равноправными, то за оборот они должны накопить каждая по $\pi$ радиан. Но для приближения к реальности рассчитаем каждую из них раздельно.

Для большой итерации, которая работает всегда, при любой орбитальной скорости, и в случае движения перигелия Меркурия отвечает за основное орбитальное движения тела

$\varphi = arcsin(\frac{GM\lambda _{c}}{R_{g}^2C^2})\nu \frac{2\pi R_{g}}{C}$ , где

$G$ - гравитационная постоянная,

$M$ - масса черной дыры,

$\lambda _{c}$ - Комптоновская длина волны протона,

$R_{g}=\frac{2GM}{C^2}$ - гравитационный, он же орбитальный радиус,

$\nu$ - Комптоновская частота протона,

$\frac{2\pi R_{g}}{C}$ - время полного орбитального оборота.

Для любой массы черной дыры $\varphi = \pi$ , что и ожидалось. Вторая часть должна быть тем, что мы называли движением перицентра $(2)$

$\Delta \varphi =2\pi \frac{GM}{C^2a(1-\varepsilon ^2)}f(v)$ - угол смещения перицентра за оборот,

где $f(v)=2\sqrt{1-\frac{v^2}{C^2}}+1$

В случае ЧД формула значительно упрощается до $\Delta \varphi =2\pi \frac{GM}{C^2R_{g}}$ ,

которая при подстановке значений дает $\Delta \varphi =\pi$

Расчет периастра для двойного пульсара Халса-Тейлора (B1913+16)

Массы компонентов и орбитальные характеристики:

$M_{1} = 1,4414(2)$ M_⊙,

$M_{2} = 1,3867(2)$ M_⊙,эксцентриситет $\varepsilon = 0.617134$ ,

время оборота $P = 7,75$ час = $2,79\cdot 10^4$ сек, средняя скорость движения по орбите $200$ км/с.

Из уравнения $P=2\pi {\sqrt {\frac {a^{3}}{G(M_{1}+M_{2})}}}$ можно выразить $a$ - большую полуось

$a=\sqrt[3]{\frac{GP^2(M_{1}+M_{2})}{4\pi ^2}}$

Подставляя значения в $\Delta \varphi =2\pi \frac{GM}{C^2a(1-\varepsilon ^2)}f(v)\eqno(2)$ $=4,2241°$ градусов в год.

При этом в уравнение $f(v)=2\sqrt{1-\frac{v^2}{C^2}}+1$ подставляется относительная скорость компонентов системы $v=400$ км/сек.*

*Для таких малых скоростей $f(v)$ можно считать равной $3$ .

Расчет периастра для двойного пульсара B2127+11C

Массы компонентов и орбитальные характеристики:

$M_{1} = 1,358$ M_⊙,

$M_{2} = 1,354$ M_⊙,эксцентриситет $\varepsilon = 0.681395$ ,

время оборота $P = 8,047$ час $= 2,8968\cdot 10^4$ сек,

средняя скорость движения по орбите $170$ км/с.

Пользуясь выкладками предыдущей задачи, получим $\Delta \varphi = 4,460$ градусов в год.

Расчет периастра для двойного пульсара J1807−2500B

Массы компонентов и орбитальные характеристики:

$M_{1} = 1,3655$ M_⊙,

$M_{2} = 1,2064$ M_⊙,эксцентриситет $\varepsilon = 0.747033$ ,

время оборота $P = 9,95667$ суток $= 8,6025\cdot10^5$ сек.

Пользуясь выкладками предыдущих задач, получим $\Delta \varphi = 1,1$ угловой минуты в год.